铁磁体磁弹性相互作用的广义变分原理与理论模型

铁磁体磁弹性相互作用的广义变分原理与理论模型*
周又和　郑晓静
摘要　　定量分析发现：目前对三维弹性体所建立的各类理论模型均不能同时模拟铁磁介质磁弹性相互作用的两类基本实验现象.　进而导致模拟复杂形状结构，如壳体的磁弹性力学行为陷入困境.　 这样，对三维铁磁弹性介质建立能统一描述已有两类典型实验现象的理论模型就成为模拟复杂形状结构磁弹性相互作用力学特征的关键.　从三维铁磁体磁弹性耦合系统的总能量泛函变分原理出发，建立了能同时模拟已有铁磁板磁弹性相互作用两类典型实验现象的三维可磁化弹性体的理论模型.　结果表明：对于各向同性线性铁磁体，除了得到与由经典磁偶极子物理模型导出的宏观电磁力计算式一致的作用在铁磁介质上的磁体力外，还得到了作用在可磁化介质表面的边界面分布磁力，其值为两侧磁介质Faraday磁应力在表面处的跳变值.　这是各经典模型，如磁偶极子模型和公理化模型等所没有的.
关键词　　磁弹性体　能量泛函　广义变分原理　磁弹性相互作用　三维理论模型
　　目前，关于电磁介质体及其结构在电磁弹性相互作用下的力学问题日益受到理论界和工程界的重视.　其中铁磁介质结构已用于许多高科技的电磁装置与器件中，如与新能源有关的大型热核聚变反应堆的第一壁结构就采用了热性能良好的铁磁介质壳体结构.　由于电磁结构在强磁场环境中的力学特性(如强度、振动与稳定性等)直接涉及结构的安全设计，同时又由于许多大型能源装置中的电磁结构大尺寸、高耗资，使得结构的安全设计与品质因素分析多依赖于理论模拟的结果，这样理论模型的合理性与准确性就成为进行可靠理论分析的关键.　　　有关铁磁介质磁弹性相互作用下的力学性能的理论与实验研究早在60年代就已开始［1，2］.　到目前，其基础性的典型实验有两类：一是处在均匀横向磁场中的铁磁悬臂板的磁弹性屈曲失稳［2］，即板的横向变形在外加磁场增大到一临界值时，微小的磁场增加将导致很大的横向弯曲变形；另一类则是处在均匀纵向面内磁场中的悬臂板固有频率随外加磁场大小的增大而上升［3］.　为了模拟这些实验现象和揭示铁磁介质体及其结构磁弹性相互作用的特征，已建立的模型有：从磁偶极子物理模型出发的磁体力偶模型［2］、磁体力模型［4］；从公理化体系与理性力学原理出发的三维磁介质体磁弹性力学模型［5～7］；以及从变分原理出发的二维磁弹性力学模型［8，9］和复杂磁场环境中铁磁板的模型［10～12］.　在后两类理论模型中，除本文作者等人所得的模型外，其余均依赖于一预先选取的不同形式的Maxwell电磁应力张量来给出作用在磁介质上的磁体力与边界上的磁面力的分布方式.　数值模拟显示：除上面的由二维铁磁板变分原理得到的磁弹性力学模型能同时描述已有的两类典型实验现象外，其余模型均只能模拟两类典型实验中的第一类.　这表明有关三维铁磁体磁弹性相互作用的理论模型还存在缺陷，进而导致缺乏能准确描述复杂磁场中复杂形状铁磁结果，如壳体的磁弹性力学行为的合理的理论模型.　　　本文试图建立能同时描述已有铁磁板磁弹性相互作用两类典型实验的三维铁磁体磁弹性相互作用的理论模型.　对于线性各向同性铁磁材料的铁磁体，在线弹性范围内，通过选取系统的总能量泛函，即磁弹性体在变形后的磁能与铁磁体的应变能之和，取磁标势函数的变分与位移变分为独立变分，运用变分原理，导出铁磁体变形后的磁场方程和力学场方程以及连接磁场与力学场相互作用的磁体力与磁面力表达式等全部基本方程.　结果表明：在取磁体力分布为经典磁偶极子模型的宏观磁力表达式时，在铁磁介质表面上得到的面分布磁力为表面两侧磁介质的Faraday磁应力跳变值，后者是经典磁偶极子模型所没有的.　在将本文得到的磁力分布模式应用到铁磁板后发现：由此得到的作用在板中面上的等效横向磁力与从基于二维铁磁板的磁弹性变分原理所得到的横向磁力计算公式［9,12］完全一致，由此表明这一基于三维铁磁体的磁弹性力学模型能同时模拟已有的两类典型实验现象.　最后，对于所得到的面分布磁力给出相应的物理解释.　
1　现有磁力计算模型与适用范围
　　在磁弹性力学相互作用的理论分析中，磁力分布的模式或计算式起着关键的作用，这是由于磁力的分布并不能由实验直接测量而只能通过测量其力学响应量后间接推测得到.　在早期，人们关心的只是作用在磁介质体上磁力的整体效果，即主矢与主矩，从而给出了一些整体效果相同但分布不同的所谓等效磁力模式.　随着磁弹性变形问题的提出，人们已注意到不同分布的磁力计算模式将给出磁弹性相互作用力学特性的不同结果［1］.　在80年代以前，由于当时只有横向磁场中铁磁板的失稳实验［2］，因此人们认为只要理论模型能预测板的失稳现象，即使所得到的失稳值在定量上与实验值相差很大，也还是合理的.　直到90年代初，实验揭示出纵向面内磁场中铁磁板的固有频率上升现象后［3］，通过数值模拟发现：以前这些被认为合理的磁弹性力学模型均无法模拟这一新实验［10］.　从而促使了对磁弹性理论的进一步研究［9～12］.　这里，我们简要列出各磁力模型的计算公式，并指出它们的适用范围与局限性.　1.1　安培分子电流模型　　在安培分子电流模型中，磁介质中的磁极化被认为是由分子电流引起的.　记M为磁介质中的磁化强度矢量，则有如下的等效体电流密度jv和面电流密度js：
jv=×M 在V中,
(1)
js=-n×M 在S上，
(2)
其中n为铁磁介质表面的单位法向矢量.　当铁磁介质内的磁感应强度记为B时，由Lorentz公式得到作用在磁介质上的磁体力fv与面分布磁力fs为
fv=(×M)×B 在V中，
(3)
fs=-(n×M)×B 在S上.
(4)
1.2　磁极子模型　　在磁极子模型中，磁介质的磁化被视为体分布的磁极子-.M和面分布的磁极子n.M.　应用磁极模型得到作用在可磁化介质上的磁力分布为
fv=-（.M)B 在V中，
(5)
fs=n.MB　在S上.
(6)
1.3　磁偶极子模型　　在安培分子电流模型基础上，视分子电流为电流环，则分子电流环与磁场的相互作用就相当于磁偶极子与磁场的作用.　从Lorentz磁力公式出发计算各微观分子电流环上的磁力与力偶，再通过宏观磁化强度的定义，得到作用在可磁化介质上的磁体力f与磁体力偶c如下：
f=(B).M 在V中,
(7)
c=M×B 在V中,
(8)
在这一模型中，并不认为有边界面分布的磁力存在.　可以证明：以上3种磁力分布模式的整体效果是等效的［1］.　从磁偶极子模型出发，目前在磁弹性力学中有以下两种计算磁力分布的方式.　　情形1 磁体力偶模型［2］　Moon和Pao［2］在预测他们所做的均匀横向磁场中铁磁板屈曲失稳实验现象时，认为当板的长厚比很大时，铁磁板内的磁场近似地与外加均匀磁场B0相等.　在此假设下，(7)与(8)式就变为
f≡0,　c=M×B0≠0.
(9)
情形2　磁体力模型［4］　对于各向同性线性铁磁材料，由其本构关系知
B=μ0(H+M)=μ0μrH,
(10)
M=χH, μr=1+χ，
(11)
这里，μ0，μr和χ分别称为真空中的磁导率、可磁化介质的相对磁导率和磁化率，H为磁场强度矢量.　将(10)和(11)式代入(7)和(8)式中得
(12)
比较(9)式和(12)式所给出的磁力分布模式，两者在本质上完全不同.　磁力(12)式的磁弹性力学模型成功地定量预测了横向磁场中铁磁板的屈曲失稳实验［4］.　1.4　与Maxwell应力张量有关的模型　　在电磁弹性力学中，另一种广泛用来计算作用在磁介质上磁力分布的方式是采用Maxwell电磁应力张量.　记Tem为一Maxwell电磁应力张量(以下将发现它有多种选择方式)，则磁体力与面分布磁力为
fv=.Tem 在V中,
(13)
js=-n.［Tem］ 在S上, (14)
其中［.］表示其量在表面两侧的跳变值.　这类磁弹性力学模型多数是从非线性弹性理论出发建立后退化到小变形情形.　以下我们仅针对小变形各向同性铁磁介质情形列出各模型的磁力计算公式.　　Pao-Yeh公理化模型　在Pao-Yeh公理化模型中，Maxwell应力张量取为
Tem=BH-μ0(H.H)I,
(15)
其中I为二阶单位张量.　于是得到
(16)
fs=μ0(Mn)2n 在S上.
(17)
显然，这一模型的边界面分布磁力只与磁化强度矢量M的法线分量Mn有关，而且磁体力(16)式与磁偶极子模型的磁体力(12)式的第1式相差μr因子(对于通常软铁磁材料，μr》1).　另外，van Lieshout等人［8］用非线性弹性变分原理导出的模型对各向同性线弹性情形, 其Maxwell应力张量与磁力分布计算公式跟Pao-Yeh模型的结果一致.　　　Eringen-Maugin理性力学模型　Eringen［6］和Maugin［7］用理性力学方法建立了类似的电磁弹性力学模型.　当将其在Lorentz-Heaveside单位制下的量转换到本文所采用的MKSA单位制下时，其磁场部分的Maxwell应力张量为
Tem=BH-(B.B/μ0-M.B)I，
(18)
得到相应的磁力分布为
(19)
在S上,
(20)
这里，Mτ是铁磁表面上磁化强度矢量的切向分量.　可以看出：Eringen-Maugin模型的边界磁力只与磁化强度的切向分量有关，而(19)式则与磁偶极子模型的(12)式完全一样，这些结果与Pao-Yeh模型完全不同.　1.5　基于线弹性变形的磁弹性耦合变分原理的模型　　在这类模型中，对非线性磁弹性相互作用系统的磁能与应变能之和的能量泛函,用变分原理可导出磁场方程、力学场方程和连接磁能与机械能转换的磁力.　　　情形1　横向磁场中的铁磁板［4］.　在考虑板表面的法向磁场分量远大于切向分量的条件下，导出的磁体力为
在V中,
(21)
它与由磁偶极子模型直接导出的(12)式完全相同.　情形2 纵向面内磁场中的铁磁板［10］.　由于板表面处的磁场切向分量远远大于其法向分量，当磁极化系数不太大时得到的磁体力计算公式为
在V中,
(22)
值得注意的是，(22)式和(21)式除相差一因子μr外，还相差一实质性的负号.　而正是(22)式所对应的磁弹性力学模型从理论上预测出了面内纵向磁场中铁磁板固有频率上升的实验现象［10］.　显然，这一模型不能模拟出横向磁场中铁磁板的磁弹性失稳实验.　　　情形3 复杂磁场环境中的铁磁板［9,11,12］.　在将总能量泛函中弹性体的应变能改为薄板弯曲应变能后，由能量泛函的一阶变分为零得到在任意磁场环境中作用在铁磁薄板中面上的等效横向磁力为
(23)
其中h为板的厚度，S+表示板的中面区域，Hn与Hτ是铁磁板表面上磁场的法向分量与切向分量.　在分别考虑到前面两种特殊磁场环境的铁磁板在表面上磁场的法向分量与切向分量的量级后，(23)式的等效横向磁力可以分别退化到由(21)式和(22)式的磁体力所相应得到的等效横向磁力，即这一模型能同时模拟已有的两类典型磁弹性实验现象.　　　如果将上述各模型的磁力按薄板理论向板的中面简化，可以得到各模型相应的作用在板中面上的等效横向磁力的计算式.　它们当中, 除由(22)式导出的等效横向磁力与(23)式右边第2括号部分相同外，其余均与(23)式右边第1括号部分相同或相近.　
2　铁磁体磁弹性相互作用的广义变分原理
　　这里将对线性、均匀和各向同性可磁化的三维铁磁体的非线性磁弹性相互作用建立任意磁场环境下的磁弹性力学模型.　设铁磁介质处在外加磁场B0中，铁磁介质内部和表面上没有电荷与电流.　在不考虑机械外力作用时，对于静磁场问题，其磁弹性相互作用的总能量泛函为
(24)
其中Ω+和Ω-分别表示铁磁材料所占的区域与铁磁材料的外部区域；S0为包围且远离铁磁体的一封闭曲面；上标+与-用来分别表示其量是在铁磁体内(上)与铁磁体外；u为铁磁弹性体的位移矢量；ε和t分别为铁磁体的应变张量与应力张量；φ是磁标势函数，即
-φ=H.
(25)
对于线弹性变形，其应变位移关系和应力应变关系可以分别写为
ε={u+(u)T},
(26)
t=Y∶ε,
(27)
这里Y是四阶弹性张量.　将(26)和(27)式代入(24)式中，考虑变量φ和u的变分为独立变分量，运用变分运算法则可以得到能量泛函Π的一阶变分为
(28)
(28)式右边最后的积分项表示在铁磁弹性体发生δu的位移变化时，转换为弹性应变能的磁能，而这种转换是以磁力作功的形式进行的.　因此，这一部分对应着磁力的虚功.　在通常情形下，作用在铁磁体上的磁力分为磁体力与面分布磁力.　从前节关于各模型的介绍中已看出：不同模型的主要差别就在于分解出的磁体力与面分布磁力各不相同，从而导出描述实际磁弹性力学现象的能力的不同.　在下面的分解中，我们取对应于磁偶极子物理模型的磁体力计算公式
在V中,
(29)
考虑到铁磁介质表面的磁场连接条件后,(28)式右边最后的积分项化为
(30)
这里用到(H+)2=(H+n)2+(H+τ)2.　对上式右边括号内的第1项应用Gauss积分公式并在略去体应变的变分和注意到(29)式后，便可得到
(31)
于是将(30)和(31)式代入到(28)式中，有
(32)
令δΠ=0，并由δφ与δu的独立性和任意性，便得到可磁化体磁弹性力学的基本方程如下：　　磁场方程
2φ+=0 在Ω+(u)中,
(33)
2φ-=0 在Ω-(u)中,
(34)
　在S上,
(35)
-μ0φ-=B0 在S0上.
(36)
　　力学方程
.t+femv=0 在Ω+中,
(37)
在S上,
(38)
显然，除了得到全部磁场和力学场方程外，还得到边界处的面分布磁力
在S上
(39)
与(29)式表达的磁体力.　　　为了讨论边界磁力的物理意义,我们考虑在铁磁体边界处交界面两侧的磁场法线分量Bn和切向分量Bτ，并写出Faraday电磁应力为［13］:
(40)
由边界处的磁场连接条件可得到边界两侧Faraday电磁应力的跳变值为
在S上,
(41)
即边界面分布磁力为边界面两侧Faraday电磁应力的跳变值.
3 铁磁板小挠度磁弹性力学模型
　　现在我们将前节得到的磁弹性力学方程用于铁磁板的情形.　这里只需将力学方程(37)和(38)利用薄板理论的方法转换到铁磁薄板磁弹性相互作用的力学方程即可.　记薄板厚度为h，坐标面xoy与板的中面重合，z轴与未变形板的中面正交.　将作用在铁磁板介质上的所有磁力沿板中面的法线向板的中面平移，便得到作用在板中面上的等效横向磁力为
在S*上,
(42)
其中k为z方向的单位矢量，S*表示板的中面区域.　将(29)式的磁体力与(41)式的面分布磁力代入上式，就得到与(23)式完全相同的等效横向磁力公式.　再由薄板理论不难给出铁磁板的弯曲方程为
DΔ2　 Δ2 w(x,y)=qemz(x,y) 在S*中，
(43)
这里D为薄板的弯曲刚度，Δ2是以x和y为坐标的二维Laplace算子.　正如在(23)式处所指出的，这一结果表明本文所建立的三维可磁化铁磁体的磁弹性力学模型可以同时模拟已有的两类不同典型实验现象.　因此，本模型可以用于描述复杂磁场环境中复杂形状结构的磁弹性力学问题.　
作者单位：周又和　郑晓静　　(兰州大学力学系，兰州 730000)
作者简介；*国家杰出青年科学基金(批准号：19725207)、国家教委与国家自然科学基金委“留法学者参加西部建设”合作基金资助项目
参　　考　　文　　献
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